Question

7．把一张矩形的ABCD白纸，AB=3，BC=3$\sqrt{3}$，按图（一）沿AE折叠，使B落在AD边上的，再沿MN折使点A落在C处，则折痕MN长为（　　）

• A． 6-2$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{2}$-6
• C． 6$\sqrt{3}$-6
• D． $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过点N作NQ⊥BC于Q，由折叠可知：四边形ABEB′是正方形，AM=CM，AN=CN，得到线段的垂直平分线，根据特殊锐角三角函数，求得结果．

解答 解：过点N作NQ⊥BC于Q，由折叠可知：四边形ABEB′是正方形，AM=CM，AN=CN，
∴AP=CP，PM⊥AC，
∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∠ACB=∠CAD=30°，
∴AC=6，AP=3，PM=$\sqrt{3}$，
∵∠BAE=45°，
∴∠NAC=∠ACN=15°，
∴∠NCE=15°，
∴∠PCN=∠QCN，
∴PN=QN，
设QN=x，则NE=$\sqrt{2}$x，AN=CN=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x，CQ=x+3$\sqrt{3}$-3，
在R_t△CNQ中，x²${+（x+3\sqrt{3}-3）}^{2}$=${（3\sqrt{2}-\sqrt{2}x）}^{2}$，
∴x=6-3$\sqrt{3}$，
∴PN=NQ=6-3$\sqrt{3}$，
∴MN=PM+PN=6-2$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 此题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，角平分线的性质，以及勾股定理和翻折变换的性质，作辅助线是解题的关键．