Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F.

（1）证明：△APD≌△CPD；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE.

【解析】

（1）利用正方形得到AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，即可证明全等；

（2）设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，，再利用周角计算得出x值；

（3）AP=CE. 设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，

，求出，得到是等边三角形，即可证得AP=CE.

解：

（1）四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，

在与中，

，

∴；

（2）设，

由（1）得，，

因为PA=PE，所以

所以；

（3）AP=CE.

设，

由（1）得，，

∵PA=PE且在菱形ABCD中，

∴，

∴，

由（1）得PA=PC，∴PC=PE，

∴是等边三角形，

∴PE=PC=CE，

∴AP=CE.