Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴交于点A，与正比例函数y=-x的图象交于点B，过B点作BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点M从点A出发沿线段A0以每秒钟l个单位的速度向终点O匀速移动，在移动过程中过点M作x轴的垂线交线段AB或线段BO于点P、设M点移动的时间为t秒，线段BP的长为d（d＞0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点Q同时从原点O出发，以每秒钟1个单位长的速度，沿折线 O-C-B的路线向点B运动，当动点M停止移动时，点Q同时停止移动、当t为何值时，△BPQ是以BP为一腰的等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8），
∴点B的纵坐标为8，
∵点B在正比例函数y=-x的图象上，
∴当y=8时，x=-6，
∴点B的坐标为（-6，8），
把（-6，8）代入y=x+b中，
得：8=-6+b，
解得：b=14，
∴直线AB的解析式为：y=x+14；

（2）由题意得：AM=t，
∵直线AB：y=x+14交x轴于点A，
∴A（-14，0），
∴OA=14，
过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B（-6，8），
∴BD=8，OD=6，
∴AD=OA-OD=14-6=8，
∴AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∴AB==8，OB==10，
∴cos∠DOB===，
①当点M在AD上时，
∵PM⊥x轴，
∴∠PMA=90°，
∴AP=t，
∴BP=AB-AP=8-t（0≤t≤8）；
②当点M在OD上时，OM=14-t，
∵∠PMO=90°，cos∠DOB=，
∴OP=（14-t），
∴BP=OB-OP=10-（14-t）=t-（8＜t≤14）；
综上，d=BP=；

（3）∵△BPQ是以BP为一腰等腰三角形，
∴BP=BQ或BP=PQ，
①当点P在AB上时（0≤t≤8），Q在OC上，
∵OC=BD=8，PM=OQ=t，
∴CQ=OC-OQ=8-t，
∴BQ²=BC²+CQ²=6²+（8-t）²，
∵∠PMO=∠MOQ=90°，
∴四边形PMOQ是矩形，
∴PQ=OM=14-t，
当BP=BQ时，即BP²=BQ²，
∴（8-t）²=6²+（8-t）²，
整理得：t²-16t+28=0，
解得：t=2或t=14，
∵0≤t≤8，
∴t=2；
当PB=PQ时，即BP²=PQ²，
∴（8-t）²=（14-t）²，
整理得：t²-4t-68=0，
解得：t=2±6，
∵0≤t≤8，
∴t=2±6不合题意，舍去；
②当点P在BO上时（8＜t≤14），Q在BC上，
∵OC=t-8，BC=6，
∴BQ=BC-OC=6-（t-8）=14-t，
当BP=PQ时，t-=14-t，
解得：t=；
当BP=PQ时，过点P作PH⊥BC于H，
∴BQ=2BH，
∵BH=DM=AM-AD=t-8，
∴14-t=2（t-8），
解得：t=10；
综上，当t=2或t=或t=10时，△BPQ是以BP为一腰的等腰三角形．
分析：（1）由BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8），可得点B的纵坐标为8，即可求得点B的坐标，然后将其代入y=x+b，即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB：y=x+14交x轴于点A，可求得OA的长，∠BAO=45°，过点B作BD⊥x轴于点D，即可求得AB，AD的长与cos∠DOB的值，再分别从当点M在AD上时与当点M在OD上时，OM=14-t，去分析求解即可求得答案；
（3）由△BPQ是以BP为一腰等腰三角形，可得BP=BQ或BP=PQ，然后分别从当点P在AB上时（0≤t≤8），Q在OC上与当点P在BO上时（8＜t≤14），Q在BC上去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义以及等腰直角三角形性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．