Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＜0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y=（x＜0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO为半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．试探索AN与MB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）解：点P在线段AB上，理由如下：
如图1，∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°
∴AB是⊙P的直径，
∴点P在线段AB上．

（2）解：如图1，过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，
由题意可知PP₁、PP₂，都是△AOB的中位线，
故S_△AOB=OA×OB=×2PP₂×2PP₁
P是反比例函数y=（x＜0）图象上的任意一点，
∴S_△AOB=2PP₁×2PP₂=4××|-4|=8．

（3）解：AN∥MB．理由如下：
如图2，连接MN，则MN过点Q，且S_△MON=S_△AOB=8．
∴OA•OB=OM•ON
∴=
∵∠AON=∠MOB
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB．
分析：（1）点P在线段AB上，由O在⊙P上，且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直径，由此即可证明点P在线段AB上；
（2）如图，过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，由题意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位线，故S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×PP₂而P是反比例函数y=（x＜0）图象上的任意一点，由此即可求出PP₁×PP₂=4，代入前面的等式即可求出S_△AOB；
（3）如图，连接MN，根据（1）（2）则得到MN过点Q，且S_△MON=S_△AOB=12，然后利用三角形的面积公式得到OA•OB=OM•ON，然后证明△AON∽△MOB，最后利用相似三角形的性质即可解决问题．
点评：此题分别考查了反比例函数图象上点的坐标特点、相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理及圆周角定理，综合性比较强，要求学生熟练掌握这些基础知识才能很好解决这类综合性的问题．