Question

如图1，B、A在x、y轴的正半轴上，C在x轴正半轴上B点的右侧，OB、OC是方程x²-3x+2=0的两根，AB=2OB，D（1，-1）．
（1）求四边形AODB的面积；
（2）若y=kx+1（k≠0）交线段AO、BD于E、F，且S_{四边形AEFB}=

1

4

+

3

4

，求k的值；
（3）将△OCD绕点C顺时针旋转一定角度后得到△O′CD′，若点D′恰好落在边AB上，求O′到x轴的距离．

Answer 1

分析：（1）先由解方程x²-3x+2=0求得两根x₁=1，x₂=2，从而确定OB=1，OC=2，进而得到AB=2，OA=

3

，BD=1，然后利用梯形的面积公式直接求S_{四边形AODB}=

1

2

+

3

2

．
（2）先根据y=kx+1（k≠0）求出OE=1，AE=

3

-1，再利用梯形面积公式S_{四边形AEFB}=

1

2

（BF+AE）×1得到：

1

2

（BF+

3

-1）×1=

1

4

+

3

4

，解方程求出BF=

3

2

-

3

2

．可得到点F坐标为（1，

3

2

-

3

2

），再利用待定系数法求得k=

3

2

-

5

2

．
（3）要想利用旋转前后的两个图形全等的条件，需要过点D′作D′E⊥x轴于点E，过点O′作O′F⊥D′E交D′E的反向延长线于点F，先利用CD′=CD和Rt△D′EC中的勾股定理求出BE=

-1+ 5

4

，从而求出  D′E=

- 3 + 15

4

，再利用△O′FD′≌△D′EC求出FD′=EC=BE+BC=

3+ 5

4

，即可求出O′到x轴的距离为FE=FD′+D′E=

3+ 5 - 3 + 15

4

．

解答：解：（1）解方程x²-3x+2=0得：x₁=1，x₂=2，故OB=1，OC=2
∵AB=2OB，D（1，-1）
∴AB=2  OA=

3

  BD=1
∴S_{四边形AODB}=

1

2

（BD+OA）•OB=

1

2

（1+

3

）×1=

1

2

+

3

2

（2）y=kx+1（k≠0）交线段AO、BD于E、F，如图，则OE=1  AE=

3

-1
∵S_{四边形AEFB}=

1

2

（BF+AE）×1=

1

2

（BF+

3

-1）×1=

1

4

+

3

4

，
∴BF=

3

2

-

3

2

故点F坐标为（1，

3

2

-

3

2

），代入y=kx+1（k≠0）得
k=

3

2

-

5

2

（3）过点D′作D′E⊥x轴于点E，过点O′作O′F⊥D′E交D′E的反向延长线于点F
设BE=a，则D′E=

3

a，在Rt△D′EC中，EC=EB+BC=a+1，D′C=DC=

2

∴（

3

a）²+（a+1）²=（

2

）²
解得a=

-1± 5

4

∴BE=

-1+ 5

4

    D′E=

- 3 + 15

4

∵O′D′=CD′∠FD′O′=∠ECD′∠F=∠D′EC=90°
∴△O′FD′≌△D′EC
∴FD′′=EC=BE+BC=

-1+ 5

4

+1=

3+ 5

4

∴O′到x轴的距离为FE=FD′+D′E=

3+ 5

4

+

- 3 + 15

4

=

3+ 5 - 3 + 15

4

点评：考查了一次函数综合题．利用图形的面积的两种表示形式作为等量关系列方程是常用的一种方法．第（3）题中辅助线做法是常用的一种方法，这样可以把旋转前后的数量关系联系在一起．