Question

【题目】在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）．

（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．
①在图1中画出图形；
②在△OCP与△PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图2，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA，

∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴ = = = ，

∴CP= AD=4，

设OP=x，则CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴边AB的长为10；

（2）

解：①作图如下：

；

②作MQ∥AN，交PB于点Q，如图1．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ= PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF= QB．

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB．

由（1）中的结论可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB= =4 ．

∴EF= PB=2 ．

∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2 ．

【解析】（1）根据相似三角形△OCP∽△PDA的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长；（2）①根据题意作出图形；②由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长．