Question

7．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，点O是对角线AC的中点，点P为直线AC上一点，M为BC延长线上一点，且CM=AP．
（1）如图1．当点P在OC上（不与O，C重合）移动时，
①求证：PD=PM；
②∠DPM的度数是否发生变化？试证明你的结论；
（2）如图2，当点P在OC的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请自己画图证明．

Answer 1

分析 （1）①先根据菱形的性质得出AD=CD，∠DAP=∠DCP=60°，再由SAS定理得出△APD≌△CMD，故可得出PD=DM，∠ADP=∠CDM，△DPM是等边三角形，由此可得出结论；
②根据①中，△DPM是等边三角形可得出结论．
（2）连接DP，MP，同（1）可得△APD≌△CMD，故可得出PD=DM，∠ADP=∠CDM，△DPM是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）①证明：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AD=CD，∠DAP=∠DCP=60°，
在△APD和△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠DAP=∠DCP\\ AP=CM\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CMD（SAS）．
∴PD=DM，∠ADP=∠CDM，
∴∠PDM=∠PDC+∠CDM=∠PDC+∠ADP=∠ADC=60°，
∴△DPM是等边三角形，
∴PD=PM．
②不变．
证明：∵由①知△DPM是等边三角形，
∴∠DPM=60°，且与点P位置无关；

（2）成立．
连接DP，MP，同（1）可得△APD≌△CMD，
∴PD=DM，∠ADP=∠CDM，△DPM是等边三角形，
∴PD=PM，∠DPM=60°．

点评 本题考查的是菱形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．