Question

13．已知△ABC，以顶点C为圆心、CB为半径作圆交AC于点D，连接DB．若∠ACB=2∠ABD，
①求证：边AB所在直线于⊙C相切；    
②AC=3，BC=2，求AD和DB的长．

Answer 1

分析 （1）证得AB⊥BC即可判定切线；
（2）首先根据AD=AC-CD求得AD的长，然后勾股定理得到AB的长，根据△ADG∽△ACB，对应边成比例得出$\frac{AD}{AC}=\frac{DG}{BC}=\frac{AG}{AB}$，从而求得$DG=\frac{2}{3}，AG=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，根据勾股定理求得BD的长即可．

解答 解：（1）∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CDB=∠A+∠DBA，∠ACB=2∠ABD，
∴在△ABC中，由三角形的内角和定理得：
2（∠A+∠DBA）+2∠ABD=180°，
∴∠A+2∠DBA=90°，
即∠A+∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴边AB所在直线于⊙C相切；

（2）作DG⊥AB于G．
AD=AC-CD=AC-BC=3-2=1，
∵BC⊥AB，AC=3，BC=2，
∴$AB=\sqrt{A{C^2}-B{C^2}}=\sqrt{{3^2}-{2^2}}=\sqrt{5}$，
∵DG⊥AB，BC⊥AB，
∴DG∥BC．
∴△ADG∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DG}{BC}=\frac{AG}{AB}$，
∴$\frac{3-2}{3}=\frac{DG}{2}=\frac{AG}{{\sqrt{5}}}$，
∴$DG=\frac{2}{3}，AG=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴$GB=\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，
∴$DB=\sqrt{D{G^2}+G{B^2}}={\sqrt{{{（{\frac{2}{3}}）}^2}+{{（{\frac{{2\sqrt{5}}}{3}}）}^2}}^{\;}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质，三角形内角和定理三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或利用垂直求解．