Question

3．如图，已知直线l：y=$\frac{1}{2}$x+2与y轴交于点D，过直线l上一点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过C、E两点的抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t秒，△DFH的面积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）；
（3）若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积．

Answer 1

分析 （1）先确定出点E的纵坐标，进而利用一次函数解析式得出点E的坐标，然后结合点C、E的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）先证明△QEF∽△DEC进而用t表示EF，并用勾股定理求出DE，进而用t表示DF，然后求出B点坐标，并求出BD的长，过B作BN⊥DE于N，设直线DE与x轴交于点M，利用△BDM的面积求出BN的长，再利用∠NDB的正弦函数求出其度数，可得到△FDH为等腰直角三角形，最后利用三角形的面积公式列式化简即可；
（3）首先判断出点D、M、E、P在以MP为直径的圆上，进而利用圆周角定理可知∠PDM=90°，∠PCE=∠PME=45°，则有CG=PG，据此求出点P的坐标，然后利用勾股定理的逆定理得到∠DPE=90°，可判断四边形PDME是矩形，进而判断四边形PMBE是平行四边形，再利用平行四边形的面积求法列式计算即可．

解答 解：（1）∵CE⊥y轴，C（0，4），且E在直线y=$\frac{1}{2}$x+2上，
∴E点的纵坐标为4，
由$\frac{1}{2}$x+2=4，得x=4，
∴E（4，4），
把C、E两点坐标代入抛物线解析式得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-\frac{16}{3}+4b+c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4；

（2）由直线y=$\frac{1}{2}$x+2与y轴交于点D，得D（0，2），
如图1，由题意可知CQ=t，QE=4-t，DC=2，则DE=$\sqrt{D{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∵∠QEF=∠DEC，∠QFE=∠DCE=90°，
∴△QEF∽△DEC，
∴QE：DE=EF：EC，即（4-t）：$2\sqrt{5}$=EF：4，
解得EF=$-\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴DF=DE-EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4，令y=0，得-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
∴B（6，0），
∴BD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{B}^{2}}$=$2\sqrt{10}$，
过B作BN⊥DE于N，设直线DE与x轴交于点M，则M（-4，0），DM=$\sqrt{O{F}^{2}+O{D}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∴S_△BDM=$\frac{1}{2}$DM•BN=$\frac{1}{2}$BM•OD，
∴BN=$\frac{BF•OD}{DM}$=$2\sqrt{5}$，
∴sin∠NDB=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠NDB=45°，
∴△FDH是等腰直角三角形，DF=FH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$DF•FH=$\frac{1}{2}（\frac{2\sqrt{5}}{5}t+\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}$=$\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t+$\frac{2}{5}$，
即S=$\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t+$\frac{2}{5}$（0≤t≤4）；

（3）如图2，过P作PG⊥CE于G，设P（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+4），连接PC、PD，
∵△PEM是等腰直角三角形，PE=EM，
∴∠EPM=∠EMP=45°，
又∵∠EDM=45°，
∴点D、M、E、P在以MP为直径的圆上，
∴∠PDM=90°，∠PCE=∠PME=45°（圆周角定理），
∴CG=PG，
∵PG=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+4-4=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m，
∴-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m=m，
∴m=1或m=0（不合题意，舍去），
∴P（1，5），
∴PG=CG=1，GE=3，PE=$\sqrt{P{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，ME=$\sqrt{10}$，
∴DP=$\sqrt{{1}^{2}+（5-2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DP²+PE²=DE²，
∴∠DPE=90°，
又∵∠PDM=90°，∠PEM=90°，
∴四边形PDME是矩形，
∴PE∥BD，PE=DM=$\sqrt{10}$，
∴BM=BD-DM=$\sqrt{10}$，
∴BM=PE，
∴四边形PMBE是平行四边形，
∴四边形PMBE的面积为PE•ME=$\sqrt{10}$•$\sqrt{10}$=10．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理及其逆定理的应用，平行四边形和矩形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，涉及的知识较多，综合性较强，具有一定的难度，解答本题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．