Question

18．小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S_{四边形ABCD}=S_△ABF（S表示面积）
问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km²）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE就可以得出结论；
问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
实际运用：如图3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分别为P₁，M₁，再根据条件由三角函数值就可以求出结论．

解答 问题情境：证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE．
又∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
∴在△ADE与△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCE}+S_△ADE=S_{四边形ABCE}+S_△FCE=S_△ABF；

问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，如图2，
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S_{四边形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴当点P是MN的中点时S_△MON最小；

实际运用：如图3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分别为P₁，M₁，
在Rt△OPP₁中，
∵∠POB=30°，
∴PP₁=$\frac{1}{2}$OP=2，OP₁=2$\sqrt{3}$．
由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM₁=2PP₁=4，M₁P₁=P₁N．
在Rt△OMM₁中，
tan∠AOB=$\frac{M{M}_{1}}{O{M}_{1}}$，
2.25=$\frac{4}{O{M}_{1}}$，
∴OM₁=$\frac{16}{9}$，
∴M₁P₁=P₁N=2$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$，
∴ON=OP₁+P₁N=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$．
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$ON•MM₁=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\frac{16}{9}$）×4=8$\sqrt{3}$-$\frac{32}{9}$≈10.3km²．

点评 本题考查了由特殊到一般的数学思想的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，分类讨论思想的运用，解答时建立数学模型解答是关键．