Question

19．如图，在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B（0，5），与x轴交于点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是（6，0），点P的坐标是（0，y）
（1）若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；
（2）若∠PCO=30°时，求四边形ABPC的面积．

Answer 1

分析 （1）由B的坐标及一次函数与x轴交于点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，确定出A的坐标，得到OA与OB的长，再由C与P的坐标确定出OP与OC的长，四边形ABPC面积等于三角形AOB面积减去三角形POC面积，列出S关于y的函数解析式，并求出y的范围即可；
（2）根据∠PCO的度数，以及OC的长，求出OP的长，确定出y的值，代入（2）中计算即可求出S的值．

解答 解：（1）∵一次函数在y轴上的交点坐标是B（0，5），与x轴交于点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，
∴A（10，0），即OA=10，OB=5，
∵C（6，0），P（0，y），
∴OP=y，OC=6，
∴S=S_{四边形ABPC}=$\frac{1}{2}$OA•OB-$\frac{1}{2}$OP•OC=$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×y×6=25-3y（0＜y＜5）；
（2）∵∠PCO=30°，OC=6，
∴tan30°=$\frac{OP}{OC}$，即OP=OCtan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
则S=S_{四边形ABPC}=25-6$\sqrt{3}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，三角形面积公式，以及锐角三角函数定义，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．