Question

15．如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，
（1）求∠APB的度数．
（2）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合；则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=1；根据勾股定理得PP′²=2²+2²=8，再由P′C²=1²=1，PC²=3²=9可知PC²=PP′²+P′C²，根据∠APB=∠BP′C即可得出结论；
（2）过点B作BE⊥BP，且BE=BP，连接PE、CE、AC，则PE=$\sqrt{{BP}^{2}+{BE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．由SAS定理得出△ABP≌△CBE，故∠APB=∠CEB，CE=PA=1．根据∠APE=∠APB+∠BPE=180°可得出A、P、E三点共线，AE=PA+PE，再由S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC，S_{正方形ABCD}=2S_△ABC即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合；
则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=1；
由勾股定理得：PP′²=2²+2²=8；
∵P′C²=1²=1，PC²=3²=9，
∴PC²=PP′²+P′C²，
∴∠PP′C=90°；而∠BP′P=45°，
∴∠BP′C=135°，∠APB=∠BP′C=135°；

（2）过点B作BE⊥BP，且BE=BP，连接PE、CE、AC，则PE=$\sqrt{{BP}^{2}+{BE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵∠ABC=90°=∠PBE，
∴∠ABP=∠CBE．
∵AB=BC，BP=BE，
在△ABP与△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠ABP=∠CBE\\ BP=BE\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴∠APB=∠CEB，CE=PA=1．
∵PE²+CE²=9=PC²，
∴∠PEC=90°，
∴∠APB=∠CEB=135°，
∴∠APE=∠APB+∠BPE=180°，
∴A、P、E三点共线，
∴AE=PA+PE=1+2$\sqrt{2}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•CE=$\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$，S_△PBE=$\frac{1}{2}$PB•BE=2，
∴S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC
=S_△EBC+S_△PBC+S_△PAC
=S_△PBE+S_△ACE
=$\frac{5+2\sqrt{2}}{2}$，
∴S_{正方形ABCD}=2S_△ABC=5+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．