Question

【题目】如图，在中，，，直角的顶点是中点，、分别交、于点、．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论正确的有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据等腰三角形的性质可得∠PAE=∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，PA⊥BC，可得∠C=∠PAE，根据直角三角形斜边中线的性质可得PA=PC，根据角的和差关系可得∠FPC=∠EPA，利用ASA可证明△EPA≌△FPC，根据全等三角形的性质可得AE=CF，PE=PF，由∠EPF=90°，可得△EPF是等腰直角三角形，可判定①②正确；根据全等三角形的性质可知S△EPA=S△FPC，可得S四边形AEPF=S△APC，由S△APC=S△ABC可判定③正确；只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，可判定④错误；综上即可得答案．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∵点P为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠PAE=∠PAC=45°，PA=PC，AP⊥BC，

∴∠C=∠PAC，

∵∠EPF=∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，

∴∠EPA=∠FPC，

在△EPA和△FPC中，，

∴△EPA≌△FPC，

∴AE=CF，PE=PF，故①正确，

∵∠EPF=90°，

∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确，

∵△EPA≌△FPC，

∴S△EPA=S△FPC，

∴S四边形AEPF=S△EPA+S△PAF=S△FPC+S△PAF=S△APC，

∵PC=BC，

∴S△APC=S△ABC，

∴S四边形AEPF=S△ABC，故③正确，

只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，故④错误；

综上所述：正确的结论有①②③，共3个，

故选：C．