Question

【题目】(1)操作发现：

如图①'在正方形ABCD中，过A点有直线AP，点B关于AP的对称点为E，连接DE交AP于点F,当∠BAP=20°时，则∠AFD= °；当∠BAP=α°(0<α<45°)时，则∠AFD= °；猜想线段DF, EF, AF之间的数量关系：DF-EF= AF（填系数）；

(2)数学思考：

如图②,若将“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=120°”，其他条件不变，则∠AFD= °；线段DF, EF, AF之间的数量关系是否发生改变，若发生改变，请写出数量关系并说明理由；

(3)类比探究：

如图③，若将“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=α°”，其他条件不变，则∠AFD= °；请直接写出线段DF,EF,AF之间的数量关系： .

Answer 1

【答案】（1）45，45，

（2）30，改变，DF-EF=AF

（3）（90-），DF-EF=2sin·AF

【解析】试题分析：对于（1），作AM垂直DE，在DF上取点G，使∠FAG=∠BAD=90°，根据B的对称点为E，四边形ABCD为正方形，即可求得△EAF≌△DAG，从而得出△AFG为等腰直角三角形，即可求出∠AFG，根据DF-EF=FG，在直角三角形FAG中，利用三角函数值，即可求得答案；

对于（2），作AM垂直DE，在DF上取点G，使∠FAG=∠BAD=120°，根据B的对称点为E，四边形ABCD为菱形，即可求得△EAF≌△DAG，从而得出△AFG为等腰直角三角形，即可求出∠AFG，根据DF-EF=FG，解直角三角形AFM，利用三角函数值求出FM=AF，再根据FG=2FM，即可解答；

对于（3），同理可证△EAF≌△DAG，从而得出△AFG为等腰直角三角形，即可求出∠AFG，解直角三角形AFM，利用三角函数值求出FM=sin AF，即可解答.

试题解析：（1）45°；45°；.

（2）30°；DF，EF，AF间的数量关系发生变化，变为DF-EF=AF.

理由如下：如图，在DF上取点G，使∠FAG=∠BAD=120°.

∵∠AFG=30°,

∴∠AGF=30°.

∴AF=AG.

由对称知AE=AB，

∠BAF=∠EAF，由菱形性质知AB=AD，

∴AE=AD，∠EAF=∠FAG-∠BAG=∠BAD-∠BAG=∠GAD.

∴△EAF≌△DAG，

∴EF=DG，

∴DF-EF=DF-DG=FG，

作AM⊥ED于M，

∵AF=AG，

∴FG=2FM，

在Rt△AFM中，

∠AFM=30°，∠AMF=90°，

∴FM=AF.

∴DF-EF=FG=2FM=AF.

（3）90°-；DF-EF=2sinAF.