【题目】如图,在△ABC中,tan∠ABC=,∠ACB=45°,AD=8,AD是边BC上的高,垂足为D,BE=4,点M从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度运动,点N从点E出发,与点M同时同方向以每秒1个单位的速度运动.以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点C时停止运动,点N也随之停止运动.设运动时间为t(秒)(t>0).
(1)当t为多少秒时,点H刚好落在线段AB上?
(2)当t为多少秒时,点H刚好落在线段AC上?
(3)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.
【答案】(1)当t为秒时,点H刚好落在线段AB上;(2)当t为秒时,点H刚好落在线段AC上; (3)S关于t的函数关系式为:S=.
【解析】分析: 如图1中,当H在AB上时,易知 根据列出方程即可解决问题;
如图2中,当H在AC上时,根据列出方程即可解决问题;
分四种情形列出方程即可①如图3中,当时,重叠部分是五边形MNGPK.②如图4中,当时,重叠部分是正方形MNGH.③如图5中,当时,重叠部分是四边形MNGH.④如图6中,当时,重叠部分是五边形MNGKP;
详解:(1)如图1,当H在AB上时,
在Rt 中,
∴BD=6,
在Rt 中,∵
由题意得:
∴
∵四边形MNGH是正方形,
∴
即
当t为秒时,点H刚好落在线段AB上;
(2)如图2,H在AC上时,
由题意得: 则
∵
∴
当t为秒时,点H刚好落在线段AC上;
(3)分四种情况:
①如图3,当时,重叠部分是五边形MNGPK,
∵
∴
∵
∴
∴
∴S=S正方形MNGH-S△PHK,
②如图4,当时,重叠部分为正方形MNGH,
∴
③如图5,当时,重叠部分为正方形MNGH,
∴
④如图6,当时,重叠部分为五边形GNMPK,
∵,
∴
∵
同理可得:S=S正方形MNGH-S△PHK,
综上所述,S关于t的函数关系式为:
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AD=2AB=4,点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点,点F为GH的中点,连接EF.则EF的最大值与最小值的差为( )
A. 1 B. ﹣1 C. D. 2﹣
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+6mx+n(m>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),顶点为C,抛物线与y轴交于点D,直线BC交y轴于E,S△ABC:S△AEC = 2∶3.
(1)求点A的坐标;
(2)将△ACO绕点C顺时针旋转一定角度后,点A与B重合,此时点O恰好也在y轴上,求抛物线的解析式.
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【题目】对于给定的两个“函数,任取自变量x的一个值,当x<1时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥1时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x-4,它的相关函数为.
(1)一次函数y= -x+5的相关函数为______________.
(2)已知点A(b-1,4),点B坐标(b+3,4),函数y=3x-2的相关函数与线段AB有且只有一个交点,求b的取值范围.
(3)当b+1≤x≤b+2时,函数y=-3x+b-2的相关函数的最小值为3,求b的值.
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【题目】观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:
(1)在④后面的横线上写出相应的等式:
①1=12;②1+3=22;③1+3+5=32;④ ;⑤1+3+5+7+9=52;…
(2)请写出第n个等式;
(3)利用(2)中的等式,计算21+23+25+…+99.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,过C作CE⊥AD垂足为E,且∠EDC=∠BDC.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若DE+CE=4,AB=6,求BD的值.
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【题目】如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
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【题目】如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点的三角形叫格点三角形),
(1)请画出△ABC关于y轴对称的格点△A1B1C1,
(2)请判断△A1B1C1与△DEF是否相似,若相似,请写出相似比;若不相似,请说明理由.
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【题目】为了解学生课余活动情况,某班对参加A组:绘画;B组:书法;C组:舞蹈;D组:乐器;这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样调查,并根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图,请根据图中提供信息,解答下面的问题:
(1)此次共调查了多少名同学?
(2)将条形统计图补充完整,
(3)计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数;
(4)已知在此次调查中,参加D组的5名学生中有3名女生和2名男生,要从这5名学生中随机抽取2名学生参加市举办的音乐赛,用列表法或画树状图的方法求出抽取的2名学生恰好是1男1女的概率。
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