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【题目】如图(1),正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)如图(2)若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,AM交DB的延长线于点F,其他条件不变,结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.

【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形.

∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.

又∵AM⊥BE,

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,

∴∠MEA=∠AFO.

在△BOE和△AOF中,

∴△BOE≌△AOF.

∴OE=OF.


(2)解:OE=OF成立.

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.

又∵AM⊥BE,

∴∠F+∠MBF=90°,

∠E+∠OBE=90°,

又∵∠MBF=∠OBE,

∴∠F=∠E.

在△BOE和△AOF中,

∴△BOE≌△AOF.

∴OE=OF.


【解析】(1)根据正方形的性质对角线垂直且平分,得到OB=OA,又因为AM⊥BE,所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.(2)根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA,再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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