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【题目】如图,对称轴为x1的抛物线经过A(﹣10),B2,﹣3)两点.

1)求抛物线的解析式;

2P是抛物线上的动点,连接PO交直线AB于点Q,当QOP中点时,求点P的坐标;

3C在直线AB上,D在抛物线上,E在坐标平面内,以BCDE为顶点的四边形为正方形,直接写出点E的坐标.

【答案】1yx22x3;(2)点P)或();(3)点E的坐标为:(2,﹣1)或(1,﹣4)或(0,﹣3)或(2,﹣5).

【解析】

1)先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另外一个交点坐标,再利用待定系数法求解即可;

2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式,再设出点P坐标,由QOP中点即可表示出点Q坐标,然后把点Q代入直线AB的解析式,解方程即可求出结果;

3)分BC为正方形的对角线、BC是正方形的一条边两种情况,画出图形,分别根据正方形的性质求解即可.

解:(1)对称轴为x1的抛物线经过A(﹣10),则抛物线与x轴的另外一个交点坐标为:(30),

设抛物线的表达式为:yax+1)(x3),将点B的坐标代入上式并解得:a1

故抛物线的表达式为:y=(x+1)(x3)=x22x3

2)设直线AB的解析式为:

将点AB的坐标代入,得:

解得:

∴直线AB的表达式为:y=﹣x1

设点Pmm22m3),当QOP中点时,则点Qm),

将点Q的坐标代入直线AB 的表达式,得

解得:m

故点P)或();

3)①当BC为正方形的对角线时,如图1所示,

∵直线AB的表达式为:y=﹣x1,则点C0,﹣1),点D0,﹣3),

BECD2,故点E12,﹣1);

②当BC是正方形的一条边时,

(Ⅰ)当点DBC下方时,如图2所示,

抛物线顶点P的坐标为:(1,﹣4),点B2,﹣3),可得PBBC

有图示两种情况,左图,点CE的横坐标相同,在函数对称轴上,故点E21,﹣4);

此时,点DE的位置可以互换,故点E30,﹣3);

右图,点BE的横坐标相同,

D1,﹣4),∴E42,﹣5);

(Ⅱ)当点DAB上方时,此时要求点B与点D横坐标相同,这是不可能的,故不存在;

综上,点E的坐标为:(2,﹣1)或(1,﹣4)或(0,﹣3)或(2,﹣5).

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