【题目】如图,对称轴为x=1的抛物线经过A(﹣1,0),B(2,﹣3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的动点,连接PO交直线AB于点Q,当Q是OP中点时,求点P的坐标;
(3)C在直线AB上,D在抛物线上,E在坐标平面内,以B,C,D,E为顶点的四边形为正方形,直接写出点E的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)点P(,)或(,);(3)点E的坐标为:(2,﹣1)或(1,﹣4)或(0,﹣3)或(2,﹣5).
【解析】
(1)先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另外一个交点坐标,再利用待定系数法求解即可;
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式,再设出点P坐标,由Q是OP中点即可表示出点Q坐标,然后把点Q代入直线AB的解析式,解方程即可求出结果;
(3)分BC为正方形的对角线、BC是正方形的一条边两种情况,画出图形,分别根据正方形的性质求解即可.
解:(1)对称轴为x=1的抛物线经过A(﹣1,0),则抛物线与x轴的另外一个交点坐标为:(3,0),
设抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3),将点B的坐标代入上式并解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3;
(2)设直线AB的解析式为:,
将点A、B的坐标代入,得:,
解得:,
∴直线AB的表达式为:y=﹣x﹣1,
设点P(m,m2﹣2m﹣3),当Q是OP中点时,则点Q(m,),
将点Q的坐标代入直线AB 的表达式,得,
解得:m=,
故点P(,)或(,);
(3)①当BC为正方形的对角线时,如图1所示,
∵直线AB的表达式为:y=﹣x﹣1,则点C(0,﹣1),点D(0,﹣3),
∴BE=CD=2,故点E1(2,﹣1);
②当BC是正方形的一条边时,
(Ⅰ)当点D在BC下方时,如图2所示,
抛物线顶点P的坐标为:(1,﹣4),点B(2,﹣3),可得PB⊥BC,
有图示两种情况,左图,点C、E的横坐标相同,在函数对称轴上,故点E2(1,﹣4);
此时,点D、E的位置可以互换,故点E3(0,﹣3);
右图,点B、E的横坐标相同,
∵D(1,﹣4),∴E4(2,﹣5);
(Ⅱ)当点D在AB上方时,此时要求点B与点D横坐标相同,这是不可能的,故不存在;
综上,点E的坐标为:(2,﹣1)或(1,﹣4)或(0,﹣3)或(2,﹣5).
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表:
利用该二次函数的图象判断,当函数值y>0时,x的取值范围是( )
A.0<x<8B.x<0或x>8C.﹣2<x<4D.x<﹣2或x>4
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【题目】某校组织了一次七年级科技小制作比赛,有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品,C班提供的参赛作品的获奖率为50%,其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图①和图②两幅尚不完整的统计图中.
(1)B班参赛作品有多少件?
(2)请你将图②的统计图补充完整;
(3)通过计算说明,哪个班的获奖率高?
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【题目】如图,圆的内接五边形ABCDE中,AD和BE交于点N,AB和EC的延长线交于点M,CD∥BE,BC∥AD,BM=BC=1,点D是的中点.
(1)求证:BC=DE;
(2)求证:AE是圆的直径;
(3)求圆的面积.
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【题目】有七张正面标有数字﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗均后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程ax2﹣(2a﹣1)x+a﹣2=0有两个不相等的实数根,且分式方程的解为正数的概率为_____.
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【题目】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形,直径AC与对角线BD相交于点E,作CH⊥BD于H,CH与过A点的直线相交于点F,∠FAD=∠ABD.
(1)求证:AF为⊙O的切线;
(2)若BD平分∠ABC,求证:DA=DC;
(3)在(2)的条件下,N为AF的中点,连接EN,若∠AED+∠AEN=135°,⊙O的半径为2,求EN的长.
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【题目】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是抛物线上的动点,且满足,求出点的坐标;
(3)连接,点是轴一动点,点是抛物线上一动点,若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点的坐标.
备用图
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【题目】如图,已知是原点,两点的坐标分别为,.
(1)以点为位似中心,在轴的左侧将扩大为原来的两倍(即新图与原图的相似比为),画出图形,并写出点的对应点的坐标;
(2)如果内部一点的坐标为,写出点的对应点的坐标.
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【题目】正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置,点A,D,G在同一条直线上,点E在CD边上,AD=3,DE=,连接AE,CG
(1)线段AE与CC的关系为______;
(2)将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后,如图2,请问(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由
(3)在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中,当∠AEC=90°时,请直接写出AE的长.
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