Question

【题目】如图，是的两条高线，且它们相交于是边的中点，连结，与相交于点，已知.

(1)求证BF=AC.

(2)若BE平分.

①求证：DF=DG.

②若AC=8，求BG的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②BG=.

【解析】

（1）易证是等腰直角三角形，然后得到，然后利用ASA证明Rt△DFB≌Rt△DAC，即可得到结论；

（2）①由是等腰直角三角形，得到∠DCB=∠HDB=∠CDH=45°，由BE是角平分线，则∠ABE=22.5°，然后得到∠DFB=∠DGF，即可得到DF=DG；

③连接CG，则BG=CG，然后得到△CEG是等腰直角三角形，然后有△AEB≌△CEB，则有CE=AE，即可求出BG的长度.

解：(1)证明：，BD=CD，

是等腰直角三角形.

，，且，

.

在和中，

，

Rt△DFB≌Rt△DAC(ASA)，

.

(2)①∵△BCD是等腰直角三角形

H点是CB的中点

∴DH=HB=CH

所以∠DCB=∠HDB=∠CDH=45°

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=22.5°

∴∠DFB=67.5°

∴∠DGF=∠DBF+∠HDB= 67.5°

∴∠DFB=∠DGF

∴DF=DG

②连接CG

∵DH是中垂线

∴BG=CG

∴∠GCH=∠GBH=22.5°

∵Rt△DFB≌Rt△DAC

∴∠ACD=∠ABE=22.5°

∵∠DCB=45°

∴∠DCG=22.5°

∴∠ECG=45°

∵BE⊥AC

∴∠CEB=90°

∴△CEG是等腰直角三角形

在△AEB和△CEB中

∴△AEB≌△CEB

∴CE=AE

∵AC=8

∴CE=AE=EG=4

∴CG=GB=.