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【题目】已知:抛物线l1y=x2+bx+3x轴于点AB,(点A在点B的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=1,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E50),交y轴于点D0 ).

1)求抛物线l2的函数表达式;

2P为直线x=1上一动点,连接PAPC,当PA=PC时,求点P的坐标;

3M为抛物线l2上一动点,过点M作直线MNy轴,交抛物线l1于点N,求点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值.

【答案】(1y=x2﹣2x﹣;(2)(11);(312

【解析】试题分析:(1)由对称轴可求得b,可求得l1的解析式,令y=0可求得A点坐标,再利用待定系数法可求得l2的表达式;(2)设P点坐标为(1y),由勾股定理可表示出PC2PA2,由条件可得到关于y的方程可求得y,可求得P点坐标;(3)可分别设出MN的坐标,可表示出MN,再根据函数的性质可求得MN的最大值.

试题解析:(1抛物线l1y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1∴﹣=1,解得b=2

抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3, 令y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1x=3

∴A点坐标为(﹣10),

抛物线l2经过点AE两点, 可设抛物线l2解析式为y=ax+1)(x﹣5),

抛物线l2y轴于点D0), ∴﹣=﹣5a,解得a=∴y=x+1)(x﹣5=x2﹣2x﹣

抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣

2)设P点坐标为(1y),由(1)可得C点坐标为(03),

∴PC2=12+y﹣32=y2﹣6y+10PA2=[1﹣﹣1]2+y2=y2+4∵PC=PA

∴y2﹣6y+10=y2+4,解得y=1∴P点坐标为(11);

3)由题意可设Mxx2﹣2x﹣), ∵MN∥y轴, ∴Nx﹣x2+2x+3),x2﹣2x﹣

﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣,可解得x=﹣1x=

﹣1x≤时,MN=﹣x2+2x+3x2﹣2x﹣=﹣x2+4x+=﹣x﹣2+

显然﹣1x=时,MN有最大值

x≤5时,MN=x2﹣2x﹣﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣=x﹣2

显然当x时,MNx的增大而增大,

x=5时,MN有最大值,×5﹣2=12

综上可知在点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值为12

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