【题目】已知:抛物线l1:y=﹣x2+bx+3交x轴于点A,B,(点A在点B的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=1,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E(5,0),交y轴于点D(0,﹣ ).
(1)求抛物线l2的函数表达式;
(2)P为直线x=1上一动点,连接PA,PC,当PA=PC时,求点P的坐标;
(3)M为抛物线l2上一动点,过点M作直线MN∥y轴,交抛物线l1于点N,求点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣;(2)(1,1);(3)12.
【解析】试题分析:(1)由对称轴可求得b,可求得l1的解析式,令y=0可求得A点坐标,再利用待定系数法可求得l2的表达式;(2)设P点坐标为(1,y),由勾股定理可表示出PC2和PA2,由条件可得到关于y的方程可求得y,可求得P点坐标;(3)可分别设出M、N的坐标,可表示出MN,再根据函数的性质可求得MN的最大值.
试题解析:(1)∵抛物线l1:y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1, ∴﹣=1,解得b=2,
∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3, 令y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3,
∴A点坐标为(﹣1,0),
∵抛物线l2经过点A、E两点, ∴可设抛物线l2解析式为y=a(x+1)(x﹣5),
又∵抛物线l2交y轴于点D(0,﹣), ∴﹣=﹣5a,解得a=, ∴y=(x+1)(x﹣5)=x2﹣2x﹣,
∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣;
(2)设P点坐标为(1,y),由(1)可得C点坐标为(0,3),
∴PC2=12+(y﹣3)2=y2﹣6y+10,PA2=[1﹣(﹣1)]2+y2=y2+4, ∵PC=PA,
∴y2﹣6y+10=y2+4,解得y=1, ∴P点坐标为(1,1);
(3)由题意可设M(x,x2﹣2x﹣), ∵MN∥y轴, ∴N(x,﹣x2+2x+3),x2﹣2x﹣
令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣,可解得x=﹣1或x=,
①当﹣1<x≤时,MN=(﹣x2+2x+3)﹣(x2﹣2x﹣)=﹣x2+4x+=﹣(x﹣)2+,
显然﹣1<≤,∴当x=时,MN有最大值;
②当<x≤5时,MN=(x2﹣2x﹣)﹣(﹣x2+2x+3)=x2﹣4x﹣=(x﹣)2﹣,
显然当x>时,MN随x的增大而增大,
∴当x=5时,MN有最大值,×(5﹣)2﹣=12;
综上可知在点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值为12.
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【题目】在10×10的网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”.以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点,则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是( )
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
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【题目】八年级一班与二班的同学在一次数学测验中的成绩统计情况如下表:
班级 | 参加人数 | 中位数 | 平均数 | 方差 |
一 | 49 | 84 | 80 | 186 |
二 | 49 | 85 | 80 | 161 |
某同学分析后得到如下结论:
①一班与二班学生平均成绩相同;
②二班优生人数多于一班(优生线85分)
③一班学生的成绩相对稳定。其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③
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【题目】嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图11的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证。
(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
(2)按嘉淇同学的想法写出证明;
证明:
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为
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【题目】如图,点A是双曲线y=(x>0)上的一动点,过A作AC⊥y轴,垂足为点C,作AC的垂直平分线交双曲线于点B,交x轴于点D.当点A在双曲线上从左到右运动时,对四边形ABCD的面积的变化情况,小明列举了四种可能:
①逐渐变小;
②由大变小再由小变大;
③由小变大再由大变小;
④不变.
你认为正确的是_____.(填序号)
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