Question

【题目】如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；

⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】⑴；⑵当 ，□MANB=△= ，此时；⑶存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；

（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；

（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．

（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，

得，，

解得a=-1，c=3，

∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，

将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，

得，，

解得，k=1，b=1，

∴yAB=x+1，

设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），

则MK=-a2+2a+3-（a+1）

=-（a-）2+，

根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，

∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK

=MKAH+MK（xB-xH）

=MK（xB-xA）

=××3

=，

∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，

S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；

（3）存在点F，

∵y=-x2+2x+3

=-（x-1）2+4，

∴对称轴为直线x=1，

当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），

如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，

抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，

则BF=BN=-3=，CF=CH=，

由题意可列：，

解得，a=，

∴F（1，）．