Question

3．若a，b是方程x²-3x-2=0的两个根，求代数式a³+3b²+2b的值．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程的解的定义得到a²-3a-2=0，即a²=3a+2，b²-3b-2=0，b²=3b+2，则a³+3b²+2b化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵a、b是方程x²-3x-2=0的根，
∴a²-3a-2=0，
∴a²=3a+2，
∴a³+3b²+2b=a（3a+2）+3b²+2
=3a²+3b²+2a+2b=3（a+b）²-2ab+2（a+b），
∵a，b是方程x²-x-3=0的两个根，
∴a+b=3，ab=-2，
∴a³+3b²+2b=35．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解．