Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=2,AM、BN是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，与BN、AM交于点C、D,设AD=x,BC=y。

(1)求证：AM∥BN。

(2)求y关于x的函数关系式。

（3）若x、y是关于t的方程2t-5t+m=0的两根，且xy=，求x、y的值。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）y=（x＞0）；（3）x=，y=2.

【解析】试题分析：（1）由AM和BN是⊙O的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，则可证得AM∥BN．

（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形，然后根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．

(3)解一元二次方程即可求得结果.

试题解析：（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴AM∥BN．

（2）解：作DF⊥BN交BC于F，

∵AB⊥AM，AB⊥BN．

又∵DF⊥BN，

∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，

∴四边形ABFD是矩形，

∴BF=AD=x，DF=AB=2，

∵BC=y，

∴FC=BC-BF=y-x；

∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，

∴DE=DA=x CE=CB=y，

则DC=DE+CE=x+y，

在Rt△DFC中，

由勾股定理得：（x+y）2=（x-y）2+22，

整理为：y=，

∴y与x的函数关系为：y=．

（3）由xy=及（2）问的结论，

得xy==1，m=2

所以原方程可以转化为2t-5t+2=0，

即（t-2）（2t-1）=0，解得t=2或t=.

因为x＜y，所以x=，y=2.