Question

12．在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰长的比叫做顶角的正对（符号为sad）．如图1，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边÷腰=$\frac{BC}{AB}$．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解决下列问题：
（1）计算：sad60°=1；sad90°=$\sqrt{2}$；sad120°=$\sqrt{3}$；
（2）对于0°＜A＜180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2；
（3）如图2在直角三角形ABC中AC⊥BC，已知sinA=$\frac{3}{5}$，试求sadA的值．

Answer 1

分析 （1）当A=60°，三角形为等边三角形，底边与腰相等；当A=90°，三角形为等腰直角三角形，底边是腰的$\sqrt{2}$倍；当A=120°，作底边上的高，底角为30°，易求得底边是腰的$\sqrt{3}$倍，然后根据等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）即可得到答案；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）过B作BD⊥AC于D，设BD=3x，AB=5x，利用勾股定理计算出AD=4x，则DC=x，在Rt△BDC中根据勾股定理求出BC，然后根据顶角的正对定义求值即可．

解答 解：（1）如图1，图2，根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°=$\frac{1}{1}$=1；
根据正对定义，
当顶角为90°时，等腰三角形底角为45°，
则三角形为等腰直角三角形，
则sad90°=$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{2}$；
根据正对定义，
当顶角为120°时，作底边上的高，底角为30°，底边是腰的$\sqrt{3}$倍，
则sad120°=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$；
故答案为：1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$；

（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为：0＜sadA＜2．

（3）过B作BD⊥AC于D，如图3，
∴sinA=$\frac{3}{5}$=$\frac{BD}{AB}$，
设BD=3x，AB=5x，由勾股定理得AD=4x，
∴DC=5x-4x=x，
在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴sadA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{10}x}{5x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和勾股定理求出三角形中未知的角和边．理解顶角的正对的定义是解题的关键．