Question

2．如图，一艘船以每小时24海里的速度向北偏西75°方向航行，在点A灯处测得灯塔P在船的西北方向，航行40分钟后到达点B处，这时灯塔P恰好在船的正北方向，已知距离灯塔9海里以外的海区为安全航行区域．问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？

Answer 1

分析 延长PB交AN于G，作PH⊥AB延长线于H，根据题意知∠PAG=45°、∠PAH=30°，设PH=x，表示出AG、AB、PB的长，由△PBH∽△ABG得$\frac{PB}{AB}=\frac{PH}{AG}$，从而求出x的值比较即可．

解答 解：如图，延长PB交AN于G，作PH⊥AB延长线于H，

由题意知∠PAM=45°，∠BAM=75°，AM⊥AN，PB∥AM，
∴PG⊥AN，∠PAG=45°，∠GAH=15°，
∴∠PAH=30°，
∴AP=2PH，PG=AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
设PH=x，则AP=2x，PG=AG=$\sqrt{2}$x，
由题意知，AB=$\frac{24}{60}$×40=16，
∴BG=$\sqrt{1{6}^{2}-{x}^{2}}$，PB=PG-BG=x-$\sqrt{1{6}^{2}-{x}^{2}}$，
∵∠PHB=∠AGH=90°，∠PBH=∠ABG，
∴△PBH∽△ABG，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PH}{AG}$，即$\frac{x-\sqrt{1{6}^{2}-{x}^{2}}}{16}$=$\frac{x}{\sqrt{2}x}$，
整理，得：${x}^{2}-8\sqrt{2}x-64=0$，
解得：x=4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$或x=4$\sqrt{2}$-4$\sqrt{6}$（舍），
∴PH=4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$≈15.5＞9，
故船可以按原方向继续航行．

点评 本题主要考查解直角三角形的实际应用，构建直角三角形表示出各边长度是解题的前提，由相似三角形的性质求得线段的长是关键．