Question

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=

3

4

x+6交x轴于点A，交y轴于点B，BD平分∠AB0，点C是x轴的正半轴上一点，连接BC，且AC=AB．
（1）求直线BD的解析式；
（2）过C作CH∥y轴交直线AB于点H，点P是射线CH上的一个动点，过点P作PE⊥CH，直线PE交直线BD于E、交直线BC于F，设线段EF的长为d（d≠0），点P的纵坐标为t，求d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，取线段AB的中点M，y轴上有一点N．试问：是否存在这样的t的值，使四边形PEMN是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得A，B的坐标以及AB的长，然后点D作DG⊥AB于点G，则OD=DG，根据S_△ABD+S_△BOD=S_△AOB利用三角形的面积公式即可求得OD的长度，从而求得D的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）首先利用待定系数法求得直线BC的解析式，CH∥y轴  点P的纵坐标为t，则E、F的纵坐标都是t，把y=t代入函数的解析式即可求得E、F的坐标；
（3）CH∥y轴，PE⊥CH，则PE∥x轴，则MN∥x轴，则N的坐标可以求得，则PE=MN，据此即可求得t的值．

解答：解：（1）当y=0时  则有

3

4

x+6=0，
解得：x=-8
∴A（-8，0），
∴AO=8
当x=0时，则有y=6
∴B（0，6），
∴OB=6，
在Rt△AOB中 OA²+OB²=AB²则有AB=10
过点D作DG⊥AB于点G 
∵BD平分∠ABO  OB⊥OA
∴OD=DG
设OD=DG=a
∵S_△ABD+S_△BOD=S_△AOB
∴

1

2

AB•DG+

1

2

OD•OB=

1

2

OA•OB
即：

1

2

×10a+

1

2

a×6=

1

2

×6×8
∴a=3
∴D（-3，0）
设直线BD的解析式为y=kx+b
将B（0，6），D（-3，0）代入得：

b=6 -3k+b=0

，
解得：

k=2 b=6

∴直线BD的解析式为y=2x+6；

（2）∵AC=AB=10，OA=8，
∴OC=10-8=2  
∴C（2，0）
设直线BC的解析式为y=mx+n
将B（0，6），C（2，0）代入y=mx+n，则

n=6 2m+n=0

，
解得：

m=-3 n=6

．
∴直线BC的解析式为y=-3x+6，
∵CH∥y轴，点P的纵坐标为t，
∴当y=t时 则有t=2x+6
∴x=

t-6

2

，t=-3x+6
∴x=

6-t

3

∴E（

t-6

2

，t）   F（

6-t

3

，t），
①当0≤t＜6时，EF=

6-t

3

-

t-6

2

∴d=5-

5

6

t
②当t＞6时，EF=

t-6

2

-

6-t

3

∴d=

5

6

t-5

（3）由点M为线段AB的中点
易求：M（-4，3）
∴MN=4
∵四边形PEMN是平行四边形
∴MN∥PE  MN=PE=4
由（2）得：E（

t-6

2

，t），P（2，t）
∴PE=2-

t-6

2

=4  
解得：t=2
∴存在这样的t=2，使得四边形PEMN是平行四边形．

点评：本题是待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算以及平行四边形的性质的综合应用，正确求得直线BC的解析式是关键．