Question

14．如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，$\frac{1}{2}$），处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+$\frac{9}{2}$与双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的交点
（1）求m和k的值；
（2）若A，B，C，D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由AC平行于y轴，BC平行于x轴，根据C坐标，得出A的横坐标与B的纵坐标，分别代入直线与双曲线解析式，求出k与m的值即可；
（2）由（1）确定出A与B坐标，如图所示，分三种情况考虑，利用平行四边形的性质分别求出D坐标即可．

解答 解：（1）∵AC∥y轴，BC∥x轴，且C（1，$\frac{1}{2}$），
∴A横坐标为1，B纵坐标为$\frac{1}{2}$，
把x=1代入直线与双曲线得：k+$\frac{9}{2}$=m①，
把y=$\frac{1}{2}$代入直线与双曲线得：-$\frac{4}{k}$=2m②，
联立①②，解得：m=4，k=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{1}{2}$，k=-4（不合题意，舍去），
则m=4，k=-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：A（1，4），B（8，$\frac{1}{2}$），
如图所示，分三种情况考虑：
当四边形ACBD₁为平行四边形时，由∠ACB=90°，得到四边形为矩形，此时D₁（8，4）；
当四边形ABCD₂为平行四边形时，AD₂=BC=7，此时D₂（-6，4）；
当四边形ABD₃C为平行四边形时，BD₃=AC=3$\frac{1}{2}$，此时D₃（8，-3），
综上，D的坐标为（8，4）或（-6，4）或（8，-3）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．