精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
精英家教网如图,已知⊙O中,弦BC=8,A是
BAC
的中点,弦AD与BC交于点E,AE=5
3
,ED=
3
3
,M为
BDC
上的动点,(不与B、C重合),AM交BC于N.
(1)求证:AB2=AE•AD;
(2)当M在
BDC
上运动时,问AN•AM、AN•NM中有没有值保持不变的?若有的话,试求出此定值;若不是定值,请求出其最大值;
(3)若F是CB延长线上一点,FA交⊙O于G,当AG=8时,求sin∠AFB的值.
分析:(1)连接BD,由等弧对等角得∠ABC=∠ABD,故可得△ABE∽△ADB,有
AB
AE
=
AD
AB
即AB2=AE•AD;
(2)连接BM,同(1)可证△ABM∽△ANB,则有
AB
AM
=
AN
AB
即AN•AM=AB2,而AB2=AE•AD,所以AN•AM=AE•AD为定值.由相交弦定理知AN•NM=BN•CN=BN(8-BN)=-(BN-4)2+16,故由二次函数的性质知,AN•NM有最大值为16;
(3)作直径AH交BC于K,连接GH,由勾股定理可求得AK的值,由相交弦定理知AK•KH=BK•KC求得KH的值,由同角的余角相等知,∠F=∠H,从而有sinF=sinH=AG:AH而求得sinF的值.
解答:(1)证明:连接BD,
AB
=
AC
精英家教网
∴∠ABC=∠ADB.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE∽△ADB.
AB
AE
=
AD
AB

∴AB2=AE•AD.

(2)解:连接BM,同(1)可证△ABM∽△ANB,
AB
AM
=
AN
AB

∴AN•AM=AB2
∴AN•AM=AE•AD=5
3
(
3
3
+5
3
)
=80,精英家教网
即AN•AM为定值,设BN=x,则CN=(8-x),
由相交弦定理看得:AN•NM=BN•CN=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,(8分)
故当BN=x=4时,AN•NM有最大值为16.

(3)解:过点A作直径AH交BC于K,连接GH,
∵A是
BAC
的中点,
∴AH⊥BC,且BK=KC=4.
∴AK2=AB2-BK2=80-16=64.精英家教网
∴AK=8.
又由AK•KH=BK•KC得:KH=
4×4
8
=2

∴AH=10.
又∵∠AGH=∠BKA=90°,且∠GAH=∠KAF,
∴∠F=∠H.(11分)
∴sinF=sinH=
AG
AH
=
8
10
=
4
5
点评:本题利用了相似三角形的判定和性质,圆周角定理,勾股定理,相交弦定理,二次函数的性质,直角三角形的性质,同角的余角相等,正弦的概念求解.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知⊙O中,弦AB与CD相交于点P.
求证:PA•PB=PC•PD.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知⊙O中,弦AB=12cm,O点到AB的距离等于AB的一半,则∠AOB的度数为
 
°,圆的半径为
 
cm.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知⊙O中,弦AC、BD相交于点P,AB=5,AP=3,DP=2,则CD=
10
3
10
3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2013届浙江建德李家镇初级中学九年级上学期期末考试数学试卷(带解析) 题型:填空题

如图,已知⊙O中,弦AC、BD相交于点P,AB=5,AP=3,DP=2,则CD=        

查看答案和解析>>

同步练习册答案