Question

5．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，点B落在点B′处，已知BC=8，AB=6，若△B′EC为直角三角形，则BE的长为3或6或$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 讨论：当∠B′EC=90°时，易得四边形ABEB′为正方形，此时BE=AB=6；当∠B′CE=90°时，点B′与点D重合，设折痕为EF，EF与BD相交于点O，如图1，通过证明Rt△BOE∽Rt△BCD，利用相似比可计算出BE=$\frac{25}{3}$；
当∠EB′C=90°时，连结CB′，如图2，先根据折叠的性质得AB′=AB=6，BE=BE′，∠AB′E=∠B=90°，而∠CB′E=90°，于是可判断点A、B′、C共线，即点B′在AC上，再根据勾股定理计算出AC=10，则CB′=AC-AB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CB′E中，根据勾股定理得到x²+4²=（8-x）²，再解方程求出x即可．

解答 解：当∠B′EC=90°时，则四边形ABEB′为正方形，此时BE=AB=6；
当∠B′CE=90°时，点B′与点D重合，设折痕为EF，EF与BD相交于点O，如图1，
∵BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=5，
∵∠OBE=∠CBD，
∴Rt△BOE∽Rt△BCD，
∴BE：BD=BO：BC，即BE：10=5：6，
∴BE=$\frac{25}{3}$；
当∠EB′C=90°时，连结CB′，如图2，
∵长方形ABCD沿直线AE折叠，点B落在点B′处，
∴AB′=AB=6，BE=BE′，∠AB′E=∠B=90°，
∵∠CB′E=90°，
∴点A、B′、C共线，即点B′在AC上，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CB′=AC-AB′=10-6=4，
设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，
在Rt△CB′E中，∵EB′²+CB′²=EC²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=5，
即BE的长为3．
综上所述，BE的长为3或6或$\frac{25}{3}$．
故答案为3或6或$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和分类讨论的思想．．