Question

10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AC=BC，AB=2AD．
（1）求∠ADC的度数；
（2）若AB=10cm，CD=12cm，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB交AB于点E，则∠AEC=90°，利用已知条件和全等三角形的判定方法可证明△ADC≌△AEC，利用全等三角形的性质即可得到∠ADC=∠AEC=90°；
（2）由（1）可知S_△ACD=S_△AEC，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比可得S_△ACB=2S_△ADC，进而四边形ABCD的面积=3S_△ADC，问题得解．

解答 解：（1）作CE⊥AB交AB于点E，则∠AEC=90°，
∵AC=BC，
∴CE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=2AD，
∴AE=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC，
在△ADC和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠EAC=∠DAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEC，
∴∠ADC=∠AEC=90°；
（2）∵CE是AB的垂直平分线，
∴S_△ACD=S_△AEC，
∵AB=2AD，CD=CE，
∴S_△ACB=2S_△ADC，
∴四边形ABCD的面积=3S_△ADC=3×$\frac{1}{2}$×5×12=90cm²．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质以及求不规则四边形的面积，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，题目的综合性较强，难度中等．