Question

18．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，下面结论：①BN平分∠ABC；②△BCN是等腰三角形；③△BMN≌△BCN；④△BCN的周长等于AB+BC，其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB的度数，根据线段垂直平分线的性质证明NB=NA，进行判断即可．

解答 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴NB=NA，∴∠NBA=∠A=36°，
∴∠NBC=∠ABC-∠NBC=36°，
∴BN平分∠ABC，①正确；
∠BNC=∠A+∠NBC=72°，
∴∠BNC=∠ACB，
∴△BCN是等腰三角形，②正确；
△BMN是直角三角形，△BCN是锐角三角形，∴△BMN≌△BCN不正确，③错误；
△BCN的周长等于BN+CN+BC=AN+CN+BC=AC+BC=AB+BC，④正确，
故选：B．

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．