Question

8．【提出问题】
（1）已知：菱形ABCD的变长为4，∠ADC=60°，△PEF为等边三角形，当点P与点D重合，点E在对角线AC上时（如图1所示），求AE+AF的值；
【类比探究】
（2）在上面的问题中，如果把点P沿DA方向移动，使PD=1，其余条件不变（如图2），你能发现AE+AF的值是多少？请直接写出你的结论；
【拓展迁移】
（3）在原问题中，当点P在线段DA的延长线上，点E在CA的延长线上时（如图3），设AP=m，则线段AE、AF的长与m有怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先判断出△ACD是等边三角形，即可判断出AC=AD=4；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APF≌△CPE，即可判断出CE=AF，据此求出AE+AF的值是多少即可．
（2）首先取AC上的点G，使得CG=PD=1，判断出GP∥CD，即可判断出∠APF=∠GPE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APF≌△GPE，即可判断出GE=AF，据此求出AE+AF的值是多少即可．
（3）首先作PH∥CD交CE于点H，判断出△AHP∽△ACD，即可判断出△AHP是等边三角形；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APF≌△HPE，即可判断出AF=HE，再根据PA=AH，可得AE=PA+AF，所以AE-AF=m，据此解答即可．

解答 解：（1）如图1，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴PA=PC，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=4，
又∵△PEF为等边三角形，
∴∠ADC=∠EPF=60°，
∴∠APF=∠CPE，
在△APF和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CP}\\{∠APF=∠CPE}\\{PF=PE}\end{array}\right.$
∴△APF≌△CPE，
∴CE=AF，
∴AE+AF=AE+CE=AC=4，
即AE+AF的值是4．

（2）如图2，点G是AC上的一点，且满足CG=PD=1，，
∵CG=PD，AC=AD，
∴AG=AP，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AP}{PD}$，
∴GP∥CD，
∴∠GPA=∠CDA=60°，
又∵EPF=60°，
∴∠APF=∠GPE，
在△APF和△GPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=GP}\\{∠APF=∠GPE}\\{FP=EP}\end{array}\right.$
∴△APF≌△GPE，
∴GE=AF，
∴AE+AF=AE+GE=AG=AC-CG=4-1=3，
即AE+AF的值是3．


（3）如图3，作PH∥CD交CE于点H，，
由（1），可得△ACD是等边三角形，
∵PH∥CD，
∴△AHP∽△ACD，
∴△AHP是等边三角形，
∴PA=PH，∠APH=∠EPF=60°，
∴∠FPA=∠EPH，
在△APF和△HPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PH}\\{∠FPA=∠EPH}\\{PF=PE}\end{array}\right.$
∴△APF≌△HPE，
∴AF=HE，
又∵PA=AH，
∴AE=PA+AF，
∴AE-AF=m．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，以及菱形的性质和应用，要熟练掌握．