Question

如图，在平面直角坐标系中，以点0′（-2，-3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A、B两点，过点B作⊙O′的切线，交y轴于点C，过点0′作x轴的垂线MN，垂足为D，一条抛物线（对称轴与y轴平行）经过A、B两点，且顶点在直线BC上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点P，在抛物线上是否存在一点Q，使四边形DBPQ为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接O′B
∵O′（-2，-3），MN过点O′且与x轴垂直
∴O′D=3，OD=2，AD=BD=AB
∵⊙O′的半径为5
∴BD=AD=4
∴OA=6，OB=2
∴点A、B的坐标分别为（-6，0）、（2，0）
∵BC切⊙O′于B
∴O′B⊥BC
∴∠OBC+∠O′BD=90°
∵∠O′BD+∠BO′D=90°
∴∠OBC=∠BO′D
∵∠BOC=∠BDO′=90°
∴△BOC∽△O′DB
∴
∴OC==
∴点C的坐标为（0，）
设直线BC的解析式为y=kx+b
∴
解得
∴直线BC的解析式为y=-x+；

（2）由圆和抛物线的对称性可知MN是抛物线的对称轴，
∴抛物线顶点的横坐标为-2
∵抛物线的顶点在直线y=-x+上
∴y=即抛物线的顶点坐标为（-2，）
设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）
得=a（-2+6）（-2-2）
解得
∴抛物线的解析式为y=-（x+6）（x-2）=-x²-x+4；

（3）由（2）得抛物线与y轴的交点P的坐标为（0，4），
若四边形DBPQ是平行四边形，
则有BD∥PQ，BD=PQ，
∴点Q的纵坐标为4
∵BD=4
∴PQ=4
∴点Q的横坐标为-4
∴点Q的坐标为（-4，4）
∴当x=-4时，y=-x²-x+4=-×16++4=4
∴点Q在抛物线上
∴在抛物线上存在一点Q（-4，4），使四边形DBPQ为平行四边形．
分析：（1）求直线BC的解析式，首先要求出的是B、C的坐标，即OB、OC的长；连接O′B，在直角三角形O′DB中可根据O′D及半径的长用勾股定理求出DB的长，然后根据OD的长即O′横坐标的绝对值求出OB的长，即可求出B的坐标．求OC长，可根据△BOC∽△O′DB得出的比例线段来求出．求出B、C的坐标后，可用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）由于抛物线过A、B两点，根据抛物线的对称性进可得出抛物线的对称轴为x=-2，又已知抛物线的顶点在直线BC上，由此可求出抛物线顶点的坐标．然后用顶点式的二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将B点坐标代入即可求出抛物线的解析式．
（3）可根据（2）得出的抛物线的解析式，求出P点的坐标．由于四边形DBPQ为平行四边形，那么DP平行且相等于DB，因此可将P点坐标左移DB长即4个单位，即可得出Q点，然后将Q点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出Q点是否在抛物线上．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、平行四边形的判定等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．