Question

4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（　　）

• A． AH=2DF
• B． AF=2HE
• C． AF=2CE
• D． DH=DF

Answer 1

分析 连接BH，利用等边对等角可求得∠ABC=∠C=67.5°，利用等腰直角三角形的判定与性质可以得出AD=BD，∠BAC=∠ABD=45°，∠6=22.5°，利用等腰三角形三线合一的性质可得出BC=2CE=2BE，利用直角三角形斜边上中线的性质可得DG⊥AB，利用角平分线的定义可得∠1=∠2=22.5°，进而利用ASA证得△ADF≌△BDC，则有AF=BC，据此进行分析各选项即可．

解答 解：连接BH，
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠C=67.5°，
∵BD⊥AC，
∴△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠BAC=∠ABD=45°，
∴∠6=22.5°，
∵G为AB的中点，
∴DG⊥AB，AG=BG，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1=∠2=22.5°，
∴∠1=∠6，
又∵AD=BD，∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF=BC，
∵AB=AC，AE平分∠CAB，
∴BC=2CE=2BE，AE⊥BC，
∴AF=2CE=2BE，故C正确；
∵DG⊥AB，AG=BG，
∴∠2=∠GBH=22.5°，
∴∠HBE=45°，
∴△HEB为等腰直角三角形，HE=BE，
∴AF=2BE=2HE，故B正确；
∵∠5=90°-∠1=67.5°，∠4=∠3=90°-∠2=67.5°，
∴∠4=∠5，
∴DH=DF，故D正确，
无法证明AH=2DF，故A错误；
故选A．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，证得△ADF≌△BDC是解题的关键．