Question

9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点A、B分别在坐标轴上，且x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于点D，则$\frac{CD}{AM}$的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设AB=BC=a，根据勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）aAM=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到$\frac{AB}{CD}=\frac{AM}{CM}$，即CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，即可解答..

解答 解：设AB=BC=a，
则AC=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2}$a
∵MA（即x轴）平分∠BAC
∴$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即MC=$\sqrt{2}$BM
∵BC=BM+MC=a，
∴BM+$\sqrt{2}$BM=a
解得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）a
则AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，
∵∠ABM=∠CDM=90°
且∠AMB=∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AM}{CM}$，
即CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，
∴$\frac{CD}{AM}=\frac{AB•CM}{A{M}^{2}}$=$\frac{a•（2-\sqrt{2}）a}{（\sqrt{4-2\sqrt{2}}a）^{2}}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明Rt△ABM∽Rt△CDM．