Question

1．当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，$\frac{m}{n}$）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y=-x+b，且点B是“完美点”．
（1）点（3，2）是否是“完美点”，并说明理由；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）按照完美点概念，求出m、n的值，代入验算，发现符合m，n是正实数，且满足m+n=mn，进而证明点（3，2）是完美点；
（2）首先根据条件求出点B的坐标，在平面直角坐标系中画出图形，利用割补法求出图形面积．

解答 解：（1）点（3，2）是完美点．
假设点（3，2）是完美点，
则：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{\frac{m}{n}=2}\end{array}\right.$，
解得：m=3，n=$\frac{3}{2}$，
根据完美点定义，应该满足：
3、$\frac{3}{2}$为正实数，
3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，
∴点（3，2）是完美点．

（2）将点A（1，6）代入y=-x+b，
得b=7，
则直线解析式为：y=-x+7，
设点B坐标为（x，y），
∵点B满足直线y=-x+7，
∴B（x，-x+7），
∵点B是“完美点”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=x}\\{\frac{m}{n}=-x+7}\end{array}\right.$      ①
∵m+n=mn，m，n是正实数，
∴$\frac{m}{n}+1=m$，②
将②代入①得：
$\left\{\begin{array}{l}{m=x}\\{m-1=-x+7}\end{array}\right.$
解得x=4，
∴点B坐标为（4，3），
在平面直角坐标系画图，如下图：

过点A做AE⊥y轴，EF⊥y轴，垂足为点E、F，
则：AE=1，BF=4，OF=EF=3，
则，S_△OAB=S_{四边形EABO}-S_△OAE
=S_梯形AEFB+S_△OBF-S_△OAE
=$\frac{1}{2}$（AE+BF）×EF+$\frac{1}{2}$×OF×BF-$\frac{1}{2}$×AE×OE，
=$\frac{1}{2}$（1+4）×3+$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×6，
=$\frac{15}{2}$+6-3
=$\frac{21}{2}$．
答：△OAB的面积为$\frac{21}{2}$．

点评 题目考查了完美点的新定义及应用和平面直角坐标系中图形面积求解，题目设计新颖，既考查学生理解能力，又考查学生利用所学知识解决平面直角坐标系图形面积求解问题．