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【题目】已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的最大值为4,且抛物线过点(,﹣),点P(t,0)是x轴上的动点,抛物线与y轴交点为C,顶点为D.

(1)求该二次函数的解析式,及顶点D的坐标;

(2)|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标;

(3)Q(0,2t)是y轴上的动点,若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点,求t的取值.

【答案】1D14);(2P(﹣30);(3t的取值是t3t=t≤﹣3

【解析】

试题(1)先利用对称轴公式x=计算对称轴,即顶点坐标为(1,4),再将两点代入列二元一次方程组求出解析式;

(2)根据三角形的三边关系:可知PCD三点共线时|PCPD|取得最大值,求出直线CDx轴的交点坐标,就是此时点P的坐标;

(3)先把函数中的绝对值化去,可知,此函数是两个二次函数的一部分,分三种情况进行计算:当线段PQ过点(0,3),即点Q与点C重合时,两图象有一个公共点,当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时,两函数有两个公共点,写出t的取值;线段PQ与当函数x≥0)时有一个公共点时,求t的值;当线段PQ过点(﹣3,0),即点P与点(﹣3,0)重合时,线段PQ与当函数x<0)时也有一个公共点,则当t≤﹣3时,都满足条件;综合以上结论,得出t的取值.

(1)∵的对称轴为:x=1,∴抛物线过(1,4)和()两点,代入解析式得:,解得:a=﹣1,c=3,∴二次函数的解析式为:,∴顶点D的坐标为(1,4);

(2)∵CD两点的坐标为(0,3)、(1,4);

由三角形两边之差小于第三边可知:

|PCPD|≤|CD|,∴PCD三点共线时|PCPD|取得最大值,此时最大值为,|CD|=,由于CD所在的直线解析式为y=x+3,将Pt,0)代入得t=﹣3,∴此时对应的点P为(﹣3,0);

(3)的解析式可化为:

设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b,将Pt,0),Q(0,2t)代入得:

线段PQ所在的直线解析式:y=﹣2x+2t分三种情况讨论:

当线段PQ过点(0,3),即点Q与点C重合时,线段PQ与函数有一个公共点,此时t=,当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时,t=3,此时线段PQ有两个公共点,所以当t<3时,线段PQ有一个公共点

y=﹣2x+2t代入x≥0)得:

,令=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0,t=>0,所以当t=时,线段PQ也有一个公共点

当线段PQ过点(﹣3,0),即点P与点(﹣3,0)重合时,线段PQ只与x<0)有一个公共点,此时t=﹣3,所以当t≤﹣3时,线段PQ也有一个公共点,综上所述,t的取值是t<3t=t≤﹣3.

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