Question

12．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若AB=12，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的判定得出AB=BC，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据菱形的性质得出AO=OC，BO=OD，AC⊥ND，求出AO、OD，求出AC和BD，根据面积公式求出即可．

解答 证明：（1）∵∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；

（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又∵∠DAB=60°，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°
在Rt△AOB中，
OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=12，AC=2OA=12$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$BD×AC=$\frac{1}{2}$×12×12$\sqrt{3}$=72$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，菱形的性质和判定的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．