Question

2．如图，在钝角△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，M、N分别为AB、AC的中点，连接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN．求证：
（1）△EMD≌△DNF；
（2）△EMD∽△EAF；
（3）DE⊥DF．

Answer 1

分析 （1）首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=$\frac{1}{2}$AC；然后判断出EM=$\frac{1}{2}$AB，再通过证明四边形AMDN是平行四边形，可得∠AMD=∠AND，进而可证明∠EMD=∠DNF，由全等三角形的判定方法即可证明△EMD≌△DNF；
（2）首先计算出EM：EA的值，DM和AF的数量关系以及证明∠EMD=∠EAF，再根据相似三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF；
（3）由（2）可知△EMD∽△EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF．

解答 解：（1）∵D是BC中点，M是AB中点，N是AC中点，
∴DM、DN都是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
DN∥AB，且DN=$\frac{1}{2}$AB；
∵△ABE是等腰直角三角形，M是AB的中点，
∴EM平分∠AEB，EM=$\frac{1}{2}$AB，
∴EM=DN，
同理：DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=DN}\\{∠EMD=∠DNF}\\{MD=NF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△DNF；
（2）∵三角形ABE是等腰直角三角形，M是AB的中点，
∴EM平分∠AEB，EM⊥AB，
∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，
∴$\frac{EM}{EA}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
∵△ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=$\frac{1}{2}$AC，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，
又∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DM=FN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FA，
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，
∠EAF=360°-∠EAM-∠FAN-∠BAC，
=360°-45°-45°-（180°-∠AMD）
=90°+∠AMD，
∴∠EMD=∠EAF，
在△EMD和△∠EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}\frac{EM}{EA}=\frac{DM}{FA}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\∠EMD=∠EAF\end{array}$
∴△EMD∽△∠EAF；
（3）∵△EMD∽△∠EAF，
∴∠MED=∠AEF，
∵∠MED+∠AED=45°，
∴∠AED+∠AEF=45°，
即∠DEF=45°，
又∵△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴∠DFE=45°，
∴∠EDF=180°-45°-45°=90°，
∴DE⊥DF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握；此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径；此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．