Question

如图四边形ABCD中，AD=DC．∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为（　　）

• A、12
• B、12.5
• C、13
• D、13.5

Answer 1

分析：先根据△ABC是直角三角形可求出AC的长，再根据AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF=

1

2

AC，故点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，再根据DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可得出AE的长，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的长．

解答：解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=

1

2

AC=6，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AF

AC

=

AE

AB

，即

6

12

=

AE

15

，解得AE=

15

2

，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴

AE

BC

=

DE

AB

，即

15 2

9

=

DE

15

，解得DE=

25

2

=12.5，即DP=12.5．
故选B．

点评：本题考查的是轴对称-最短线路问题及相似三角形的判定与性质，根据轴对称的性质得出DE=DP是解答此题的关键．