Question

20．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论正确的是（　　）
①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；④若$\frac{BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则△CEF≌△CDF．

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判断出①正确；然后求出△AEF和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AF}{BE}=\frac{EF}{EC}$，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=HE，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出②错误；根据全等三角形的面积相等可得S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，判断出③正确；根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角边”证明，判断出④正确．

解答 解：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，故①正确；
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{EF}{EC}$，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{EF}{EC}$，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠AFE=∠EFC，
过点E作EH⊥FC于H，
则AE=HE，
在△AEF和△HEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{AE=EH}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△HEF（HL），
∴AF=FH，
同理可得△BCE≌△HCE，
∴BC=CH，
∴AF+BC=CF，故②错误；
∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，
∴S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，故③正确；
若$\frac{BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则cot∠BCE═$\frac{BC}{CE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BCE=30°，
∴∠DCF=∠ECF=30°，
在△CEF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠ECF}\\{∠D=∠CEF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，
综上所述，正确的结论是①③④．
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．