Question

9．如图，在⊙O中，AB=AC，BD为直径，弦AD与BC相交于点E，延长DA到F，使∠ABF=∠ABC．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD=8，tan∠ABF=$\frac{3}{4}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠BAD=90°，进而得出∠D+∠DBA=90°．根据AB=AC，得出∠CBA=∠D，进而得出∠D=∠ABF，从而得出∠ABF+∠DBA=90°，即OB⊥BF，即可证得BF为⊙O的切线；
（2）由tan∠ABF=$\frac{3}{4}$，得出tan∠D=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{4}$，得出AB=6，进而根据tan∠ABC=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{3}{4}$，即可求得AE，进而求得DE．

解答 解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠D+∠DBA=90°．
∵AB=AC，
∴∠CBA=∠D，
又∵∠ABF=∠ABC，
∴∠D=∠ABF，
∴∠ABF+∠DBA=90°，
即OB⊥BF，
∴BF为⊙O的切线；
（2）由（1）知，∠D=∠ABF，
∴tan∠D=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{4}$×8=6，
∵∠ABC=∠ABF，
∴tan∠ABC=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴AE=$\frac{9}{2}$．
DE=AD-AE=8-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$．

点评 此题考查了切线的判定以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．