Question

16．如图，抛物线y=-x²-x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设点P是线段AC上一点，且S_△ABP：S_△BCP=1：3，求点P的坐标；
（3）若直线y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线交于M、N两点，当∠MON为锐角时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将y=0代入y=-x²-x+6，得出-x²-x+6=0，解方程求得x₁=-3，x₂=2，即可得到点A、B的坐标；
（2）先由抛物线y=-x²-x+6与y轴交于点C，得出OC=6．根据同高的两个三角形面积比等于底边之比，得到$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△BCP}}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{3}$，过P作PH⊥x轴，垂足为H，那么$\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{4}$．由PH∥CO，根据平行线分线段成比例定理求得PH=$\frac{3}{2}$，AH=$\frac{3}{4}$，那么HO=$\frac{9}{4}$，进而得到点P的坐标；
（3）设直线y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线y=-x²-x+6交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点（M在N的左侧），由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+a}\\{y=-{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$，得x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0，根据一元二次方程根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=a-6，由y₁=$\frac{1}{2}$x₁+a，y₂=$\frac{1}{2}$x₂+a，得到y₁•y₂=（$\frac{1}{2}$x₁+a）（$\frac{1}{2}$x₂+a）=$\frac{a-6}{4}$-$\frac{3}{4}$a+a²．当∠MON=90°时，由勾股定理得到OM²+ON²=MN²，即${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$+${y}_{2}^{2}$=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，化简整理得出x₁•x₂+y₁•y₂=0，依此求出a=-3或a=$\frac{5}{2}$．再求出抛物线与直线只有一个公共点时，a=$\frac{105}{16}$．然后结合图形可知把直线y=$\frac{1}{2}$x-3向下平移，∠MON是锐角；把直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$向上平移，∠MON也是锐角，进而求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵y=-x²-x+6，
∴y=0时，即-x²-x+6=0，解得x₁=-3，x₂=2，
∴A（-3，0），B（2，0）；

（2）令x=0，得y=6，即OC=6．
由于△ABP和△BCP的高相等，所以面积比等于底边之比，
即$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△BCP}}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{3}$，
过P作PH⊥x轴，垂足为H，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{4}$．
∵PH∥CO，
∴$\frac{PH}{CO}$=$\frac{AH}{AO}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴PH=$\frac{3}{2}$，AH=$\frac{3}{4}$，
∴HO=$\frac{9}{4}$，
∴P（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）设直线y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线y=-x²-x+6交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点（M在N的左侧），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+a}\\{y=-{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$，得x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0，
则x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=a-6，
∵y₁=$\frac{1}{2}$x₁+a，y₂=$\frac{1}{2}$x₂+a，
∴y₁•y₂=（$\frac{1}{2}$x₁+a）（$\frac{1}{2}$x₂+a）
=$\frac{1}{4}$x₁•x₂+$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）a+a²
=$\frac{a-6}{4}$-$\frac{3}{4}$a+a²．
当∠MON=90°时，OM²+ON²=MN²，
即${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$+${y}_{2}^{2}$=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴a-6+$\frac{a-6}{4}$-$\frac{3}{4}$a+a²=0，即a²+$\frac{1}{2}$a-$\frac{15}{2}$=0，
∴a=-3或a=$\frac{5}{2}$．
若抛物线与直线只有一个公共点，即方程x²+$\frac{3}{2}$x+a-6=0有两个相等的实数根，
则△=b²-4ac=0，解得：a=$\frac{105}{16}$．
把直线y=$\frac{1}{2}$x-3向下平移，∠MON是锐角，此时a＜-3，
把直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$向上平移，∠MON也是锐角，此时$\frac{5}{2}$＜a＜$\frac{105}{16}$．
综上所述，a的取值范围是a＜-3或$\frac{5}{2}$＜a＜$\frac{105}{16}$．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点求法，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，一次函数与二次函数的交点，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理．利用数形结合是解题的关键．