Question

8．如图，在△ABC中，2∠A+∠B=90°，点0在AB边上，以O点为圆心的圆经过A、C 两点，交AB于D点．
（1）求证：BC是⊙0的切线；
（2）若0A=6，sinB=$\frac{3}{5}$，求BC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OC，则可得出∠A=∠ACO，从而利用外角的知识可得∠BOC=2α，再由2α+β=90°可判断出∠OCB=90°，继而可判断出BC是⊙O的切线．
（2）由（1）可得OC=OA=6，OC⊥BC，利用sinB=$\frac{3}{5}$=$\frac{OC}{OB}$可求出OB的长度，在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的长度．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=2∠A，
∴∠BOC+∠B=2∠A+∠B=90°，
∴∠BCO=90°，即OC⊥BC，
∵C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：由（1）可得，OC=OA=6，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，sinB=$\frac{OC}{OB}$，
∵sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{OB}$，
∴OB=10，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=8．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．关键是利用sinB的值求出OB的长度，有一定难度．