Question

1．如图，延长△ABC的高AD和它的外接圆交于H，AD为直径作圆交AB、AC于E、F两点，EF交AD于G．求证：AD²=AG•AH．

Answer 1

分析 连接DF，DE，BH，根据圆周角定理得到∠1=∠2，∠C=∠H，由AD是⊙O′的直径，得到∠AFD=∠AED=90°，推出△AEG∽△AHB，根据相似三角形的性质得到AE•AB=AG•AH，由于△AED∽△ADB，得到AD²=AE•AB，等量代换得到结论．

解答 证明：连接DF，DE，BH，
∴∠1=∠2，∠C=∠H，
∵AD是⊙O′的直径，
∴∠AFD=∠AED=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠2=∠C，
∴∠1=∠H，
∵∠EAG=∠HAB，
∴△AEG∽△AHB，
∴$\frac{AE}{AH}=\frac{AG}{AB}$，
∴AE•AB=AG•AH，
∵∠AED=∠ADB=90°，∠EAD=∠BAD，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AD²=AE•AB，
∴AD²=AG•AH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．