Question

4．计算：1+$\frac{1}{1+2}$$+\frac{1}{1+2+3}$$+…+\frac{1}{1+2+3+…+2012}$．

Answer 1

分析 由1=$\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=\frac{2}{1×2}=2×（1-\frac{1}{2}）$，$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=2×（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$，同理可得$\frac{1}{1+2+3}=2×（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$，从而可以求得1+$\frac{1}{1+2}$$+\frac{1}{1+2+3}$$+…+\frac{1}{1+2+3+…+2012}$=2×$（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}）$=2×$（1-\frac{1}{2013}）$，然后去括号，化简即可求得问题的答案．

解答 解：1+$\frac{1}{1+2}$$+\frac{1}{1+2+3}$$+…+\frac{1}{1+2+3+…+2012}$
=$\frac{1}{1}$$+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+…+\frac{1}{1+2+3+…+2012}$
=$\frac{2}{2}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+…+\frac{2}{2×（1+2+3+…+2012）}$
=2×$（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}）$
=2×$（1-\frac{1}{2013}）$
=2×$\frac{2012}{2013}$
=$\frac{4024}{2013}$．

点评 本题考查有理数的加减混合运算，关键是发现整个式子的规律，进行巧妙变化，从而解答本题．