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    已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，sinC=，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP=x，BQ=y．
    （1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；
    （2）如图2，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
    （3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．

    【答案】分析：（1）过D作DH⊥BC于H，得出四边形ABHD是矩形，推出DH=AB，BH=AD，在Rt△DHC中，求出DC=10，HC=6，推出BH=HC=6即可；                     
    （2）延长BA、CD相交于点S，根据三角形的中位线求出SD=DC=10，SA=AB=8，得出DP=x，BQ=y，SP=x+10，证△SPQ～△SAD，得出==，求出SQ=（x+10）即可；
    （3）有三种情况：（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，由BQ+CP=BC，-x++10-x=12，求出x即可；（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，得出BQ=x-，CP=x-10，若两圆外切，BQ+CP=BC，即x-+x-10=12，若两圆内切，|x--（x-10）|=12，求出即可．
    解答：（1）证明：过D作DH⊥BC于H，如图①，
    在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
    ∴∠B=∠A=90°，∠BHD=90°，
    ∴四边形ABHD是矩形，
    ∴DH=AB，BH=AD，
    又∵AD=6，AB=8，
    ∴DH=8，BH=6，
    在Rt△DHC中，sinC=，设DH=4k=8，DC=5k
    ∴DC=10，HC==6，
    ∴BH=HC=6，
    又∵DH⊥BC，
    ∴点D在线段BC的垂直平分线上．
         
    （2）解：延长BA、CD相交于点S，如图②，
    ∵AD∥BC且BC=12，
    ∴AD=BC，
    ∴===，
    ∴SD=DC=10，SA=AB=8，
    ∵DP=x，BQ=y，SP=x+10，
    ∠S=∠S，∠SAD=∠SPQ=90°，
    ∴△SPQ～△SAD
    ∴==，
    ∴SQ=（x+10），
    ∴BQ=16-（x+10），
    ∴所求的解析式为：y=-x+，定义域是0≤x≤．

    （3）解：有三种情况：
    （ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，
    由BQ+CP=BC，-x++10-x=12，
    解得：x=，
    （ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，
    （ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，
    此时BQ=x-，CP=x-10                             
    若两圆外切，BQ+CP=BC，即x-+x-10=12，
    解得：x=，
    若两圆内切，|BQ-CP|=BC，
    即|x--（x-10）|=12，
    x--（x-10）=12，x--（x-10）=-12，
    x=22，x=-74（不合题意舍去），
    综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为或或22．
    点评：本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线，函数的应用等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题较好，有一定的难度．
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    AE
    BE
    =
     
    ，
    ED
    BE
    =
     
    ；
    （2）当n=2时，求证：BF=AF；
    （3）如图2，F点在AB的延长线上，当n=
     
    时，B为AF的中点；如图3，将图形1中的线段AD沿AB翻折，其它条件不变，此时F点在AB的反向延长线上，当n=
     
    时，A为BF的中点．
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