Question

如图在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点A坐标为（0，-2），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）点B的坐标为______；抛物线的解析式为______
（2）设（1）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC=，CO=1，
∴AO==2，
如图1，作BF⊥OC，
∵∠AOC=∠BFC，∠CAO=∠BCF，
∴∠ACO=∠CBF，
在△BFC与△COA中，
∵
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
将B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=，
∴y=x²+x-2；
故答案为：（-3，1），y=x²+x-2；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x²+x-2，
∴其顶点坐标D（-，-），
设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0）
∴，解得，
∴BD的关系式为y=-x-．
∵直线BD和x轴交点为E，
∴点E（-，0），CE=，
∴S_△DBC=S_CBE+S_CED=××1+××=××（1+）=；

（3）如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
过点C″作C″P⊥y轴于点P，
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵∠AMB'=∠ANB=90°，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴∠ABN=∠B′AM，
在Rt△AB′M与Rt△BAN．
∵，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=x²+x-2，可知点B′、C′在抛物线上．
分析：（1）先在直角三角形OAC中，根据AC=，OC=1来求出OA的长，过B作x轴的垂线，假设垂足为F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐标；将已经求出的B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式；
（2）根据（2）的函数关系式即可求出D点的坐标．求△DBC的面积时，可将△DBC分成△CBE和△DCE两部分（假设BD交x轴于E）．可先根据B，D的坐标求出BD所在直线的解析式，进而求出E点的坐标，那么可求出CE的长，然后以B，D两点的纵坐标的绝对值分别作为△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面积；
（3）本题的关键是求出B′，C′两点的坐标．过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C″作C″P⊥y轴于点P．然后仿照（1）中求坐标时的方法，通过证Rt△AB′M≌Rt△BAN来得出B′的坐标．同理可得出C′的坐标．然后将两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，进而可判断出两点是否在抛物线上．
点评：本题考查的是二次函数综合题，重点考查的是待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、图形旋转变换等重要知识点；综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．