Question

20．已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且BD=AE，CD交BE于点O，DF⊥BE，点F为垂足．
（1）求证：∠ABE=∠BCD；
（2）求证：OD=2OF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得出AB=BC、∠A=∠CBD=60°，结合AE=BD即可证出△ABE≌△BCD（SAS），进而即可得出∠ABE=∠BCD；
（2）由（1）可知∠AEB=∠BDC，结合∠ABE=∠OBD即可得出△ABE∽△ODE，进而得出∠BOD=∠A=60°，在Rt△ODF中，通过特殊角的余弦值即可证出OD=2OF．

解答 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°．
在△ABE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠CBD}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠ABE=∠BCD．
（2）∵△ABE≌△BCD，
∴∠AEB=∠BDC．
∵∠ABE=∠OBD，
∴△ABE∽△ODE，
∴∠BOD=∠A=60°．
在Rt△ODF中，DF⊥BE，∠DOF=60°，
∴$\frac{OF}{OD}=cos∠DOF$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2OF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等（相似）三角形的判定与性质是解题的关键．