Question

1．如图，已知C、D分别是∠AOB的边OA和OB上两个定点，过点C的直线ι∥OB，P是边OA上的一个动点，射线DP交直线l于点M，tan∠AOB=2，l与OB的距离等于6，OD=10．
（1）设OP=x，△OPD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果点M与点C的距离为2，求△OPD的面积；
（3）将△OPD沿直线DP折叠，如果点0恰好落在直线l上，求OP的长．

Answer 1

分析 （1）作PE垂直于OB，CQ垂直于OB，如图1所示，根据tan∠AOB的值，表示出PE，求出OQ的长，进而利用勾股定理求出OC的长，以OD为底，PE为高表示出y与x的关系式即可；
（2）分两种情况考虑：（i）当M在点C左侧时，由CM与OB平行，由平行得比例求出x的值，继而求出y的值；（ii）当M在C的右侧时，同理求出x的值，确定出y的值即可；
（3）设经过折叠，点O恰好落在直线上的点N处，作DG⊥l，垂足为G，如图2所示，可得CG=7，GN=8，MN=DN=OD=10，分两种情况考虑：（i）当N在C点左侧时，如图2所示；（ii）当N在C点右侧时，如图3所示，分别求出x的值，即为OP的长．

解答 解：（1）作PE⊥OB，垂足为E，过C作CQ⊥OB，垂足为Q，如图1所示，

∵tan∠AOB=2，OP=x，CQ=6，
∴PE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，OQ=3，根据勾股定理得：OC=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
则△OPD的面积为y=$\frac{1}{2}$OD•PE=2$\sqrt{5}$x（x＞0）；
（2）分两种情况考虑：
（i）当M在C点左侧时，如图1所示，
∵CM∥OB，OP=x，CP=OC-OP=3$\sqrt{5}$-x，OD=10，CM=2，
∴$\frac{OP}{CP}$=$\frac{OD}{CM}$，即$\frac{x}{3\sqrt{5}-x}$=$\frac{10}{2}$，
解得：x=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
此时y=25；
（ii）当M在C点右侧时，同理得到x=$\frac{15\sqrt{5}}{4}$，此时y=$\frac{25}{2}$；
（3）设经过折叠，点O恰好落在直线上的点N处，作DG⊥l，垂足为G，如图2所示，
可得CG=7，GN=8，MN=DN=OD=10，
（i）当N在C点左侧时，如图2所示，CN=1，

∴CM=11，
∵CM∥OB，
∴$\frac{x}{3\sqrt{5}-x}$=$\frac{10}{11}$，
解得：x=$\frac{10\sqrt{5}}{7}$；
（ii）当N在C点右侧时，如图3所示，CN=15，

∴CM=5，
∵CM∥OB，
∴$\frac{x}{3\sqrt{5}-x}$=$\frac{10}{5}$，
解得：x=6$\sqrt{5}$，
综上，OP的长为$\frac{10\sqrt{5}}{7}$或6$\sqrt{5}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，平行线等分线段成比例，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握相似的性质是解本题的关键．