Question

13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为$\frac{3}{8}$，其中正确的是②④⑤．

Answer 1

分析 由三角形ABC与三角形ECD都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC，CD=DE，且四个锐角为45°，利用等式的性质得到∠BCE=∠ACD，故选项②正确；根据B与E重合时，A与D重合，此时DE与AC垂直；当B，E不重合时，A，D也不重合，根据∠BAC与∠EDC都为直角，判断∠AFE与∠DFC是否锐角，即可对于选项①做出判断；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEC与三角形ADC相似，利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AD与BC平行，可得出选项④正确；由④的结论判断选项③即可；根据△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；由高一定，面积最大即为AD最长，故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项⑤做出判断．

解答 解：∵△ABC，△ECD都为等腰直角三角形，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，∠B=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠BCE=∠ACD，故选项②正确；
当B，E重合时，A，D重合，此时DE⊥AC；
当B，E不重合时，A，D也不重合，由∠BAC与∠EDC都为直角，得到∠AFE与∠DFC必为锐角，故①错误；
④∵$\frac{CD}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{BC}$，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③∵由④知∠DAC=45°，
∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值，
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$；
故S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．